Теория вероятностей

Основные понятия теории вероятностей

1. Случайное событие - это любое событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Например,

• идёт снег;

• выпало 5 очков на игральной кости;

• козырь- пика.

2. Равновозможные события - это такие события, когда есть основания считать, что ни одно из них не более вероятно, чем другие.

Например,

• при бросании монеты выпадет либо "орёл", либо выпадет "решка".

3. Испытание - это какое-то действие, которое происходит в условии данной задачи.

Примеры испытаний:

• стрелок совершает выстрел;

• бросают игральную кость;

• бросают монету.

В этих примерах:

выстрел - это испытание, а попал или промахнулся - это событие;

4. Элементарный исход - это каждый результат какого-либо испытания. Например,

• если бросают игральную кость, то обязательно выпадет определённое число очков, а в другой раз - другое число очков.

5. Несовместные события - такие события, когда появление одного испытания исключает появление другого испытания.

Например,

• попадание - промах;

• "орёл - решка",

• выпало 5 очков - выпало 2 очка;

• наступила весна - наступило лето, (т.е. события не могут случиться одновременно).

6. Совместные события - такие события, которые могут произойти одновременно.

Например,

• наступило утро, и пошёл снег;

• один стрелок попал в цель, а другой стрелок не попал в цель;

7. Независимые события - это те события, которые происходят независимо друг от друга.

Например,

• при бросании двух игральных костей: на первой кости выпало 5 очков независимо от того, сколько очков выпало на второй кости;

• при бросании двух монет на одной монете выпал "орёл", а на другой может выпасть как "орёл", так и "решка";

• от того, что первый стрелок попал в цель не зависит попал или промахнулся второй стрелок.

В отличии от ситуации, когда от исхода первого события зависит исход второго события.

Вот, например,

• в урне 10 белых и 10 чёрных шаров и мы наугад дважды вытаскиваем из неё шарики: от того, что мы в первый раз вытащим белый шарик зависит, какого цвета шарик возможно вытащить во второй раз.

8. Группа событий называется полной, если в результате испытаний, появится хотя бы одно из событий.

Например,

• "попадание - промах" составляют полную группу событий;

• "орёл - решка" составляют полную группу событий;

• 1,2,3,4,5,6 очков на игральной кости составляют полную группу событий.

9. Вероятностью события А называется отношение благоприятствующих исходов к числу равновозможных событий:

Р (А) =

10. Суммой двух несовместных событий А и В называется появление хотя бы одного из этих событий (или события А, или события В).

11. Теорема о сумме двух несовместных событий

• Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Если А и В - несовместные события, т.е. события, которые не могут случиться одновременно, то

P (A+B) = P (A) + P (B).

12. Следствие 1 из теоремы о сумме двух несовместных событий.

• Вероятность суммы нескольких (больше двух) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Если A, B, С, D, ..., Z - несовместные события, то

P (A+B+C+...+Z) = P (A) + P (B ) + P (C) + ...+ P (Z).

13. Следствие 2 (о полной группе событий)

• Если события A, B, C, D, E, F образуют полную группу событий:

(например, выпало 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости),

то сумма вероятностей событий А, В, С, D, E, F равна единице.

P (A) + P (B) + P (C) + P (D) + P (E) + P (F) = 1.

14. Следствие 3 (о противоположных событиях)

• Пусть А и - полная группа событий (попадание-промах, "орёл"-"решка"), то

P (A) + P () = 1.

Где используется эта формула?

• Если P (A) = p, то P () = 1 - p.

15. Произведение независимых событий А и В - это событие, когда произошло и событие А, и событие В.

Например,

• оба стрелка попали в цель;

• при подбрасывании трёх монет два раза выпал "орёл".

16. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий

P (A ∙ B) = P (A) ∙ P (B).

Эта формула верна исключительно для независимых событий.

16. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий А и В минус вероятность произведения событий А и В.

P (A+B) = P (A) + P (B) - P (A ∙ B).

событие А+B - произошло либо событие А, либо событие В; А - произошло только событие А;

В - произошло только событие В; А ∙ В - произошло и событие А, и событие В (это возможно, так как события А и В могут произойти независимо друг от друга).