Файл к уроку 21
Решение уравнений с параметрами.
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2-3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
Простейшие задачи с параметрами.
Пример 1. При каком наибольшем отрицательном значении параметра а функция
имеет максимум в точке ?
Пример 2. При всех а решите неравенство: .
Пример 3. При всех а решите неравенство: .
Пример 4. При всех а решите неравенство:
Линейные уравнения с параметрами.
Уравнение вида
где a, b из R, x - переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).
Уравнение равносильно уравнению
ax = – b
откуда следует следующее утверждение.
Если a ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение x = – b/a;
Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения пусто;
Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения.
Решить уравнение с параметром – значит указать решение при всех значениях параметра.
Пример 5. Решить уравнение: a2x – 1 = x + a.
Пример 6. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней:
Пример 7. При каких значениях параметра а неравенство имеет решением все действительные числа:
Системы линейных уравнений с параметрами.
– Система имеет единственное решение.
– Система имеет бесконечное множество решений.
– Система не имеет решений.
Пример 8. Для всех значений параметра а решить систему уравнений
Пример 9. Определить, при каких значениях параметра a уравнения x + ay =1
и ax + y = 2a имеют хотя бы одно общее решение.
Квадратичные уравнения с параметрами.
Уравнения второй степени с параметрами зависят от дискриминанта и направления ветвей параболы, задаваемой квадратным трехчленом.
Квадратное уравнение может не иметь решений (Da=0 или D=0), два решения (D0) или бесконечное множество решений (когда при каком-то значении параметра получаем 0=0).
Пример 10. Решить уравнение в зависимости от параметра а:
Пример 11. При каких значениях корни уравнения положительны?
Пример 12. Найти значения параметра а, при которых среди корней уравнения имеется ровно один отрицательный:
Пример 13. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень?
Пример 14. При каких значениях m корни уравнения 4x² – (3m + 1) x – m – 2 = 0 лежат в промежутке между –1 и 2?
Пример 15: Найти все значения параметра а, при которых меньший корень уравнения x² + (a + 1) x + 3 = 0 лежал в интервале (–1; 3)
Пример 16. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два различных отрицательных корня:
Пример 17. При каких целых а неравенство верно для любого значения х:
Пример 18. Найти все значения а, при каждом из которых система имеет ровно два различных решения:
Пример 19. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств не имеет решений.