Задача 16. (С4) Планиметрия. Комбинации фигур
На занятии мы рассмотрим различные интересные геометрические задачи, встречавшиеся на ЕГЭ.
Конспект занятия "Задача 16. (С4) Планиметрия. Комбинации фигур"
Задачи к уроку 20.
Планиметрия.
В треугольнике ABC проведена высота CC1 . Точки P и Q – проекции точки C1 на стороны AC и BC соответственно. Известно, что в четырёхугольник CPC1Q можно вписать окружность. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
В трапеции ABCD, описанной около окружности, BC||AD, AB = CD,
BAD = 45o. Площадь трапеции равна 10. Найдите AB.
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 
.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH и AC, если ∠АВС=45О.
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
В треугольнике ABC BA=8, BC=7,
. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М.
а) Докажите, что АМ=ВС.
б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.
Задания по теме для самостоятельного решения
Задание 1
(3 балла)Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.
Задание 2
(3 балла)В треугольнике ABC AB = 13, BC = 10, CA = 7. Точка D лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 4. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. В ответ запишите найденную длину числом без пробелов и знаков препинания. Если задача имеет 2 решения – в ответ запишите произведение найденных чисел.
Задание 3
(4 балла)Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.
б) Найдите отношение PB:CP , если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.
В ответ напишите найденное отношение числом без пробелов и знаков препинания.