Четырехугольники
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.
Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).
Виды четырёхугольников
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
d12+d22=2(a2+b2).
Признаки параллелограмма
Четырехугольник является параллелограммом, если:
Две его противоположные стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Противоположные углы попарно равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства трапеции
ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
Признаки трапеции
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если:
Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба
Все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба
Параллелограмм является ромбом, если:
Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата
все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.
Основные формулы
Произвольный выпуклый четырехугольник
d1, d2 — диагонали; — угол между ними; S — площадь.
S =d1d2 sin
Параллелограмм
a и b — смежные стороны; — угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне a.
S = aha
S = ab sin
S =d1d2 sin
Трапеция
a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.
S = lh
Прямоугольник
S = ab
S =d1d2 sin
Ромб
S = aha
S = a2sin
S =d1d2
Квадрат
d — диагональ.
S = a2
S =d2
Задачи к уроку.
Определить острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое его диагоналей.
На сторонах квадрата ABCD отмечены точки M, N и K, где M – середина AB, N лежит на стороне BC, причем 2BN=NC, K лежит на стороне DA, причем 2DK=KA. Найти синус угла между прямыми MC и NK.
В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что BM : MN = 1 : 2. Найдите BC если AB = 12.
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD.
Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что
б) Найдите отношение CK и KE, если .
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AD*BP=BC*DP.
б) Найдите площадь треугольника APC, если известно, что BD=2AC, а площадь четырехугольника ABCD равна 36.
Высота равнобедренной трапеции ABCD (ВC и AD - основания) равна длине ее средней линии.
а) докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите радиус окружности, касающейся сторон AB, BC и CD трапеции, если известно, что BC=4, AD=6.
Четырехугольник ABCD со взаимно перпендикулярными диагоналями AC и BD вписан в окружность.
а) Докажите, что квадрат диаметра окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырехугольника.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно что