Решение геометрических задач.

Файл к занятию 13.

Проверка домашнего задания

Задание 8. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объем жидкости равен 190 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:1330

Задание 10. Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы на­хо­дит­ся в цен­тре ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен 33. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са. Ответ: 66

Задание 9. Шар впи­сан в ци­линдр. Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра равна 18. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара. Ответ:12

И в продолжение темы решим еще несколько задач на комбинации тел вращения

Задание 1. Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 21. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Ответ:31,5

Задание 2. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50.  Найдите объём цилиндра. Ответ:75

Задание 3. Конус вписан в шар (см. рисунок). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 47. Найдите объём шара. Ответ: 188

Решение:

Высота конуса равна радиусу основания конуса и радиусу шара. Пусть радиус равен

Объем конуса равен Vк ==

Объем шара равен .

Найдем отношение объема шара к объему вписанного в него конуса.

= 4 .

Следовательно, объем шара в 4 раза больше объема вписанного в него конуса.

Ответ:188

Устно:

1. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 6 раз, а высоту оставить прежней? Ответ: 36

2. В цилиндрический сосуд налили 500 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см. Ответ:100

3. В ци­лин­дри­че­ском со­су­де уро­вень жид­ко­сти до­сти­га­ет 16 см. На какой вы­со­те будет на­хо­дить­ся уро­вень жид­ко­сти, если ее пе­ре­лить во вто­рой сосуд, диа­метр ко­то­ро­го в 2 раза боль­ше пер­во­го? Ответ вы­ра­зи­те в см. Ответ: 4
   
   

Решение задач на нахождение объемов многогранников, являющихся частью некоторого многогранника.

Площадь поверхности и объём призмы. Для прямой призмы:

S_бо1к = Р_осн V= S_осн

Площадь поверхности и объем пирамиды

S_полн = S_осн + S_бок ; V= S_осн

Для правильной пирамиды: S_бок = Р_осн h_бок 

Задание 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 3.Ответ: 7

Задание 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, E, F, A₁, E₁, F₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 6,  а боковое ребро равно 9. Ответ: 9

Задание 7. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC. Ответ: 29

Задание 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A₁, B, C, B₁ прямоугольного параллелепипедаABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB=3, AD=4, AA₁=5. Ответ: 30

Задание 9. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A,B,A₁,D₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, у ко­то­ро­го AB=3, AD=3, AA₁=6. Ответ: 9.

Задание 16. В кубе ABCDA₁B₁C1D₁ найдите угол между прямыми A₁D и B₁D₁.  Ответ дайте в градусах. Ответ: 60

Задание 17. В кубе ABCDA₁B₁C1D₁ найдите угол между прямыми BD и A₁D₁.  Ответ дайте в градусах. Ответ: 45

На повторение:

Задание 1. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­то­рой равна 24, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Решение: Пло­щадь бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше со­от­вет­ству­ю­щих пло­ща­дей бо­ко­вых гра­ней ис­ход­ной приз­мы. По­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти от­се­чен­ной приз­мы вдвое мень­ше пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной. Ответ: 12.

Задание 2. Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

Решение: Площадь основания отсеченной треугольной призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы. Высота призмы осталась неизменной. Так как объем призмы V= S_осн , то объем уменьшился в 4 раза. Следовательно, V=32:4=8. Ответ: 8.

Задание 3. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды. Ответ: 6

Задание 4. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1 ; 12), (7 ; 14), (7 ; 20).Ответ:18