Файл к занятию 12
Цилиндр
Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью цилиндра, отрезок, соединяющий окружности оснований и перпендикулярный им, - образующей цилиндра, а перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки одного основания на другое основание, - высотой цилиндра. Высота цилиндра равна его образующей. Пусть h — высота цилиндра, r — радиус цилиндра, Sбок — площадь боковой поверхности цилиндра, Sосн — площадь основания цилиндра, Sполн — площадь полной поверхности цилиндра, V — объем цилиндра. Тогда имеют место следующие соотношения: | |
V=
Конус
Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. Пусть h — высота конуса, r — радиус основания конуса, l — образующая конуса, Sбок — площадь боковой поверхности конуса, Sосн – площадь основания конуса, Sполн — площадь полной поверхности конуса, V — объем конуса. Тогда имеют место следующие соотношения: | |
V=
Задание 1. Высота конуса равна 24, а диаметр основания равен 90. Найдите образующую конуса. Ответ: 51
Задание 2. Высота конуса равна 9, а длина образующей равна 41. Найдите диаметр основания конуса. Ответ:80
Задание 3. Площадь основания конуса равна 16π, высота — 6. Найдите площадь осевого сечения конуса. Ответ: 24.
Задание 4. Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 14. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 12. Найдите площадь этого сечения. Ответ: 252
Задание 5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра. Ответ: 3
Задание 6. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 6 и 9, а второго — 9 и 2. Во сколько раз объём первого цилиндра больше объёма второго? Ответ: 2
Задание 7. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в см. Ответ: 4.
Задание 8. Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в три раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой. Ответ:4,5
Задание 9. В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 дм3 воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,6 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм3. Ответ: 6
Задание 10. В цилиндрический сосуд налили 1200 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3. Ответ: 1000.
Задание 11. Объём конуса равен 60π, а его высота равна 5. Найдите радиус основания конуса. Ответ:6
Задание 12. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π. Ответ: 24
Задание 13. Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней? Ответ: 25
Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию
Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию (перпендикулярной высоте), делит высоту и образующие конуса на пропорциональные отрезки.
Площади сечений конуса, параллельных его основанию, относятся как квадраты их расстояний от вершины конуса.
Задание 14. Площадь полной поверхности конуса равна 16. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
Решение: 1 способ:
Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле
Так как сечение делит высоту конуса пополам, значит, радиус основания и образующая отсеченного конуса в 2 раза меньше радиуса основания и образующей исходного конуса. Следовательно, площадь поверхности отсеченного конуса
Площадь поверхности отсеченного конуса равна 16/4=4.
2 способ: Исходный и отсеченный конус являются подобными телами. Следовательно, площади их поверхности относятся как коэффициент подобия в квадрате.
k=;
Ответ:4
Задание 15. Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса. Ответ: 12,6
Задание 16. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Решение.
Меньший конус подобен большему с коэффициентом k=. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.. Поэтому объем большего конуса в 8 раз больше объема меньшего конуcа. V= 54 мл. Значит, необходимо долить 432 − 54 = 378 мл жидкости. Ответ: 378.
Задание 17. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 25 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? Ответ:175
Шар и сфера. Площадь поверхности и объем.
Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара.
Пусть R — радиус шара, D=2R — его диаметр, S — площадь ограничивающей шар сферы, V — объем шара, тогда имеют место следующие соотношения:
Задание 18. Даны два шара с радиусами 8 и 2.
1)Во сколько раз объём большего шара больше объёма другого? Ответ: 64.
2) Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого? Ответ:16
Задание 19. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 42.
Решение.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Так как они имеют общее основание и высоту, объем цилиндра в три раза больше объема конуса. Ответ: 126.
Задание 20. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен 10. Найдите образующую конуса. Ответ: 20
Задание 21. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса
равна 11 . Найдите радиус сферы. Ответ:11
Задание 22. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Решение.
Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара. Площадь основания цилиндра:
Площадь боковой поверхности цилиндра:
=
Площадь полной поверхности цилиндра:
Так как площадь поверхности шара вычисляется по формуле
,
Найдем отношение площади поверхности цилиндра к площади поверхности шара.
Имеем:
. Ответ:166,5.
Задание 23. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Ответ: 72
Задание 24. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра. Ответ: 36
Задание 25. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50. Найдите объём цилиндра. Ответ:75