Задача 17. Проценты. Процентный прирост.
Сегодня наше занятие посвящено текстовым задачам на проценты. Иногда эти задачи решаются арифметическим способом, иногда требуют ввести переменную и проследить за изменением условия задачи. При решениии текстовых задач иногда трудно с самого начала установить количество вводимых неизвестных. Выбирая неизвестные, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, т.е. каждое условие должно быть представлено в виде уравнения или неравенства. Заметим, что число переменных, входящих в уравнения или неравенства может быть достаточно большим, однако в дальнейшем, при решении уравнений, “лишние” переменные последовательно исключаются.
Сегодня мы рассмотрим задачи, не требующие неких дополительных знаний, нам понадобится лишь определение процента, знание свойств пропорции и построение логических цепочек для составления уравнений.
Итак, 1% некоторой величины это сотая часть этой величины, 1% от а равен 0,01а. Чтобы определить, сколько процентов составляет число а по отношению к числу b, составляют пропорцию , откуда находят требуемую процентную часть %.
В частности, при заданном процентном приросте р% величины с новое числовое значение d для с будет вычисляться по формуле. Если процентном приросте р% один и тот же на нескольких этапах, то окончательное значение исходной величины с после n этапов будет равно.
Задачи к уроку:
1. В начале года денежный вклад составлял 625 у.е. В конце года к накопившейся сумме добавили еще 125у.е. Найти годовой банковский процент, если в конце второго года после начисления процентов денежный вклад составил 864 у.е.
Решение. Пусть банк начисляет по денежным вкладам р% годовых. Тогда к концу года вклад с =625 (у.е) составит (у.е.). В начале второго года имеем . К концу второго года денежный вклад будет равен: (у.е.). Далее составляем уравнение , откуда находим р = 8%.
Ответ: 8%
2. Население поселка увеличилось за два года на 10,25%. Найти средний ежегодный прирост населения.
3. Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год работы предприятия возросла на p%, а на следующий год она возросла на 10% больше, чем в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%?
4. Василий кладет в банк 1000000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются 1 раз после истечения года) с правом докладывать 3 раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133000 рублей. Какая сумма будет на счету у Василия через 4 года?
5. Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?
6. 1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
7. Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
8. В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5%?
9. Василий хочет взять кредит на сумму 1325535 рублей на 5 лет под 20% годовых.
Банк предложил ему 2 варианта:
Вариант 1. Василий отдает одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи).
Вариант 2. Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи).
Н сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант?
Обозначим 1 325 535 =S -столько Василий взял.
10. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма увеличилась на Определите срок хранения вклада.
Домашнее задание:
Как всегда, после каждого видео занятия на сайте появляется домашнее задание. Задачи домашнего задания подобраны по возрастанию сложности. К каждой задаче дается подсказка, за использование которой количество баллов за задачу уменьшается на 1. Будьте внимательны, сначала прорешайте задачи в тетради, и если полностью уверены в своих ответах – проверьте их, введя в строку ответов на сайте. Все числовые ответы вводятся числом без знаков препинания и пробелов. Если ответом является десятичная дробь – вводите ее с запятой, также без пробелов.
Задание 1.
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.
Задание 2.
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Задание 3.
1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке кредит на 1,5 млн. рублей. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты составили не более 350 тысяч рублей?
Задание 4.
В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Задание 5.
В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти? Ответ запишите в процентах без пробелов, знаков препинания и знака проценты.