Методы решения уравнений.
Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения, однако на ЕГЭ часто можно встретить уравнение или неравенство, сводимое к квадратному. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным или понизить их степень, используя разложение на множители. Основные методы, которые мы сегодня рассмотрим, понадобятся нам при решении задач 13 и 15 подготовки к ЕГЭ. Методов решения уравнений гораздо больше, мы рассмотрим только те, которые могут встретиться на ЕГЭ при решении задач части С.
Методы решения уравнений:
а) метод разложения на множители;
б) метод введения новой переменной;
в) графический метод;
г) метод оценки области значений.
Разложение на множители важный метод, и часто он встречается в паре с заменой переменной. Сегодня мы рассмотрим этот метод на обычных уравнениях, на следующем занятии мы посмотрим, как этот метод применяется с тригонометрическими формулами. Также рассмотрим метод замены переменной и все, что с ним связано.
Метод разложения на множители.
Пусть дан многочлен Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + ...+a1x + a0 , где an ≠ 0
Рассмотрим метод понижения степени уравнения.
Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и an = 1, то целые корни уравнения Pn(x) = 0 находятся среди делителей свободного члена a0. Например, x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P4(1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P4(x) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем
P4(x) = (x – 1)(x3 + 3x2 + x – 5).
Аналогично, P3(1) = 0, тогда P4(x) = (x – 1)(x – 1)(x2 + 4x +5), т.е. уравнение P4(x) = 0 имеет корни x1 = x2 = 1. Два корня найдены, остается рассмотреть, есть ли решения у квадратного трехчлена в скобках.
Уравнения высших степеней.
1) биквадратное уравнение ax2n + bxn + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2 – вводится замена
Пример:
2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида
3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или
ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a
Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x2, тогда получаем: .
Произведя замену решаем квадратное уравнение a(t2 – 2) + bt + c = 0
Пример:
Решить уравнение x4 – 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0.
Делим обе части на x2,
, после замены получаем уравнение t2 – 2t – 3 = 0
– уравнение не имеет корней.
Ответ:
4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = A, коэффициенты a+b = c+d
Вводится замена
5) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = Ax2, коэффициенты ab = cd решается группировкой и делением на х2, после чего подбирается замена.
Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x + 12) = 4x2. Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x2 + 14x + 24)(x2 +11x + 24) = 4x2, разделим обе части уравнения на x2, получим:
имеем (t + 14)(t + 11 ) = 4.
6) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.
Пример:
Ответ: -2; -0,5; 0
Задачи к уроку:
Решите уравнение методом разложения на множители:
Решите уравнение методом разложения на множители:
Решить уравнение x4 – 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0.
Решить уравнение:
Решить уравнение:
Решить уравнение:
Решите уравнение методом замены переменной:
Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.
Решить уравнение:
Решить уравнение:
Сведите к квадратному уравнение:
Сведите к квадратному уравнение:
Сведите к квадратному, сделав замену:
Решить уравнение:
Сведите к квадратному, сделав замену:
Сведите к квадратному, сделав замену:
Приведите уравнение к квадратному:
Нестандартные методы решения:
Решить уравнение, предварительно учтя ОДЗ:
Решить уравнение:
Решить уравнение, оценив область значений:
Найдите количество корней уравнения
Решить уравнение
Тригонометрические уравнения
Материал к уроку 4.12.16.
Решите уравнения, используя разложение на множители, замену переменной, введение вспомогательного угла или универсальную тригонометрическую подстановку:
Решить уравнение
Решить уравнение .
Решите уравнение:
Решить уравнение Найти все корни, принадлежащие промежутку .
Решить уравнение .
Решить уравнение .
Решить уравнение .