Файл к занятию
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) в двух точках x0 и x0 + : f ( x0 ) и f ( x0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции: f( x0 + ) f ( x0 ) называется приращением функции.
Производной функции f(x) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение .
Функция, которая имеет производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Производная функции обозначается f `.
Таблица производных
f(x) | f`(x) |
C=const | 0 |
x | 1 |
| 2x |
| 3 |
| n |
| |
| |
sin x | cos x |
cos x | -sin x |
tg x | |
ctg x | |
| |
ln x | |
| |
Правила вычисления производных.
Если у функций U и V существуют производные (V , то
(U+V)`=U`+V`
(UV)`= U`V+V`U
(CU)`= CU`
Производная сложной функции:
h`(= g`(f(f
Геометрический смысл производной.
Выберем на графике функции точку с абсциссой x0 и вычислим соответствующую ординату f (x0) данной точки . В окрестности точки x0 выберем произвольную точку x. Через соответствующие точки на графике функции проведем секущую (ММ0). При стремящемся к нулю, секущая переходит в касательную. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 равен производной функции в точке х0.
.
Т.е. производная функции в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке (х0; f(x0)).
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке имеет вид:
y=f(x0) + f `(x0)(x-x0)
В этом уравнении: x0- абсцисса точки касания, f(x0)- значение функции y=f(x) в точке касания, f `(x0) - значение производной функции y=f(x) в точке касания.
Задание 1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 0,6
Задание 2. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 0,25
Задание 3. На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: 1
Задание 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ: -1,25
Задание 5. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0. Ответ:2
Задание 6. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите f'(10). Ответ: -0,6
Механический смысл производной.
Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) - x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем: отношение . Значит,
v ( t0 ) = x’ ( t0 )
скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
a = v’ ( t ).
Задание 7. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с. Ответ:20
Задание 8. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с. Ответ: 8
Дополнительно. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с? Ответ: 3
Достаточный признак возрастания (убывания) функции
1. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.
2. Если f `(x)в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.
Задание 9. На рисунке изображён график функции y = f(x) и шесть точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x6. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? Ответ: 2
Задание 10. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? Ответ:4
Дополнительно. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна? Ответ: 4
Задание 11. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 7 ; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Ответ: 5
График производной!
Задание 12. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x).
На оси абсцисс отмечены шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6.
Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)? Ответ:3
Задание 13.На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x).
На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9. Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции f(x)?
Необходимое условие экстремума
Если точка х0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то f `(x0)=0
Задание 14. На рисунке изображен график функции y=f(x),определенной на интервале (-1;10). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Решение.
Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: 0; 2; 5 и 7. Производная равна нулю в 4 точках. Ответ: 4.
Задание 15. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Ответ: 7
Задание 16. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0. Ответ: 6
Задание 17. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (− 6 ; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0 на отрезке [− 4,5 ; 2,5]. Ответ: 4
Достаточное условие экстремума
Если f `(x0)=0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с «+» на « - », то x0 является точкой максимума функции.
Если f `(x0)=0 и при переходе через точку x0 значение производной меняет знак с « - » на «+», то x0 является точкой минимума функции.
Задание 18. На рисунке изображён график y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 3 ; 19). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [− 2 ; 15]. Ответ: 1
Задание 19. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-4;16). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке . Ответ: 1
Задание 20. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2;21). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке .
Задание 21.На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 8; 3). В какой точке отрезка [− 6; −1] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Дополнительно. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 5). В какой точке отрезка [− 5; −1] функция f(x) принимает наименьшее значение?
Задание 22. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
Решение: Так как касательная параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 3 минимума, всего 5 экстремумов. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней в 5 точках. Ответ: 5.
Задание 23. На рисунке изображён график производной y = f'(x) функции y = f(x), определённой на интервале (−4; 8). В какой точке отрезка [−3; 1] функция y = f(x) принимает наименьшее значение?
Решение : На заданном отрезке производная функции отрицательна, поэтому функция на этом отрезке убывает. Поэтому наименьшее значение функции достигается на правой границе отрезка, т. е. в точке 1.Ответ: 1.
Задание 24. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].
Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 4. Значит, ответ 1. Ответ: 1.